Bài toán cuối cùng

Mỗi câu chuyện đều có một bắt đầu, ngày xửa ngày xưa ...

Lịch sử là những câu chuyện, nơi quá khứ được kể lại, trong ngôn ngữ xoắn xít của huyễn hoặc, đồn đoán và huyền thoại, mà mỗi bắt đầu sẽ lại là 'ngày xửa ngày xưa', khi cậu bé học sinh phổ thông 10 tuổi tình cờ bước vào phòng đọc của thư viện thành phố, nơi cậu tìm thấy ý nghĩa cuộc đời mình. Cậu bé đó là Andrew Wiles, và bài toán cuối cùng của cậu chính là Định lý cuối cùng của Fermat (Fermat's enigma).

Đó là lúc câu chuyện bắt đầu.

***

Có sự khác biệt cơ bản giữa làm toán và học toán; cũng như vậy đối với cứu cánh của tư duy khoa học và tư duy toán học. Trong khi tư duy khoa học hiện đại ngày càng hướng sang lĩnh vực của công nghệ và chú mục nhiều hơn đến ích lợi thực tế từ khoa học ứng dụng, mục đích toán học, và tư duy toán học, vẫn không hề thay đổi, xuyên suốt thời gian. Đó là đặc trưng cơ bản và cũng là vẻ đẹp kiêu hãnh của toán học: chứng minh tuyệt đối. Nghĩa là, mỗi chứng minh đúng trong toán học phải là đúng, và luôn đúng, trong mọi trường hợp; chứng minh là chưa hoàn tất khi tồn tại dù chỉ một trường hợp chưa được chứng minh. Tức, một điều là đúng khi và chỉ khi đã được chứng minh là đúng, với vô hạn trường hợp khác. Dẫu vậy, hành trình hướng đến cái tuyệt đối trong vô hạn của chứng minh toán học luôn đậm màu sắc của tư biện, và phần nhiều khởi đầu từ những cực đoan.

Ngày 08/08/1900, trong bản báo cáo mang tính lịch sử đọc trước Hội nghị Toán học Quốc tế tạiParis, David Hilbert đã nêu lên 23 bài toán-thách thức cần được giải quyết một cách cấp thiết, qua đó đề ra một chương trình nghiên cứu - cái sau này được gọi là Chương trình Hilbert - cho thế giới toán học trong nhiều năm sắp tới, mà chủ yếu xoáy vào việc xây dựng nền tảng logic của bộ môn này: mọi thứ trong toán học có thể và cần phải chứng minh dựa trên hệ tiên đề cơ sở. Nói cách khác, ông cho rằng tự bản thân toán học là đầy đủ và chặt chẽ trước mọi mâu thuẫn, và điều này có thể, và sẽ được, chứng minh chỉ bằng sử dụng hệ tiên đề cơ sở của toán học. Đây chính là hoài bão lớn lao, đồng thời, là niềm tin mãnh liệt của Hilbert. Và chính cậu bé Andrew Wileskhi đối diện với bài toán chưa có lời giải của mình, cũng đã thốt lên "mình phải giải được". Cậu đã tin chắc như vậy.

Những tiên đoán và khởi thảo của Hilbert cho một chứng minh về tính đầy đủ và phi-mâu thuẫn của toán học, cho dù dựa trên bất cứ dấu hiệu nào ngoài một chứng minh đầy đủ, thì được gọi là các giả thuyết mang tính tư biện. Giả thuyết cần được chứng minh, hoặc đúng hoặc sai, để được đối xử và sử dụng như một định lý, hay là một giấc mơ tan nát của lòng nhiệt thành. Không gì có thể đảm bảo cho sự đúng đắn của các giả thuyết, kể cả sự khăng khăng của người đề xuất. Do đó, tất nhiên, nghi ngờ là món quà của cộng đồng dành cho những ý tưởng được đề xuất, nhất là đối với những đề xuất táo bạo.

Tháng 9/1955, tại Hội nghị Toán học Quốc tế Tokyo, Yukata Taniyama, thông qua các vấn đề tham luận, nêu lên ý tưởng về mối quan hệ giữa các phương trình-đường cong eliptic và các dạngđối xứng thái quá Modular. Theo đó, mỗi phương trình eliptic sẽ có và luôn có một dạngmodular tương ứng. Ý tưởng này chỉ được đón nhận một cách dè dặt từ cộng đồng; trong sự hoài nghi quá lớn, nó chỉ được đối xử như một ý tưởng ngẫu phát dựa trên những trùng hợp cá biệt. Bất chấp những hoài nghi, sau hội nghị, Goro Shimura, đồng nghiệp và cũng là bạn thân, cộng tác cùng Taniyama phát triển nghiên cứu giả thuyết. Và ông vẫn tiếp tục thực hiện việc thu thập các luận chứng để chứng tỏ mối quan hệ đó là khả dĩ, kể cả sau cái chết của người đồng sự Taniyama(1958). Mãi đến những năm thập kỷ 60, Giả thuyết Shimura-Taniyama mới thật sự được công nhận. Và giả thuyết cần được chứng minh.

Khó thể nói sự kiếm tìm vinh quang và vinh danh từ động loại không phải là động cơ ban đầu khởi phát những công trình khoa học. Nhưng động lực thực thụ, cái mà không ngừng thúc giục con người miệt mài làm việc năm này qua tháng nọ, cái neo con người và tâm trí của họ vào một và chỉ một câu hỏi suốt những tháng dài; cái trao cho con người sự bền bĩ kinh ngạc và quyết tâm to lớn ..., chính là sự thôi thúc của trí tò mò. Không chỉ là trả lời cho câu hỏi Cái gì?, mà là đi tới tận cùng của sự hiểu biết và trả lời bằng được câu hỏi Như thế nào? Và phần thưởng lớn nhất dành cho người giải câu đố, chính là cảm giác thỏa mãn phấn khích vì đã giải được câu đố. Với trường hợp của các chứng minh toán học, đa phần họ đã biết cần phải làm gì, họ chỉ cần biết phải làm như thế nào.

Mùa thu năm 1984, Gerhard Frey đưa ra một khẳng định về bài toán lớn nhất thế kỷ: nếu chứng minh được Giả thuyết Shimura-Taniyama là đúng, thì đồng thời chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat là đúng. Mùa hè năm 1986, Ken Ribert hoàn thiện nốt phát biểu của Frey: Chứng minh được Giả thuyết Shimura-Taniyama là đúng, nghĩa là chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat. Dường như chỉ chờ có vậy, Andrew Wiles - lúc này đã là giáo sư toán tại Đại học Princeton - lao vào cuộc thập tự chinh truy tìm Chén Thánh của toán học, của chính mình: công phá enigma.

Gần 7 năm ròng ẩn mình trong im lặng, cuối cùng, ngày 26/03/1993, tại Viện Isaac Newton ởCambridge, trước sự chứng kiến của khoảng 200 trăm nhà toán học, và ba tấm bảng đen chi chít chữ, Andrew Wiles viết lại phát biểu Định lý cuối cùng của Fermat, rồi quay về phía cử tọa, khiêm tốn nói: "Có lẽ tôi xin phép được dừng ở đây". Và cả khán phòng vang dội tiếng vỗ tay chúc mừng.

Nhưng còn chưa hết.

Vào cuối những năm 1960, giữa lúc Giả thuyết Shimura-Taniyama đang gây xôn xao cộng đồng toán học thế giới, Robert Langland đã có một loạt đề xuất về các giả thuyết nhằm thống nhất lý thuyết số (số học) và lý thuyết nhóm (hình học), sau này được gọi là Chương trình Langland. Cho đến bấy giờ, những đề xuất của Langland không còn quá vô lý, với việc càng ngày càng có nhiều luận cứ (để) tin tưởng rằng Giả thuyết Shimura-Taniyama là đúng, thì tương lai thống nhất toán học là không quá viễn vông. Nhưng trước cả khi Giả thuyết Shimura-Taniyama được chứng minh một cách đầy đủ (1995), trước cả khi viễn cảnh về một sự thống nhất lớn của toán học trở nên rõ ràng, như thường lệ, Langland gặp phải một thách thức nhỏ: một bài toán nhỏ, cái ông gọi tên là bổ đề, mà hóa ra lại trở thành bổ đề cơ bản. Chuyện tới đây thì ai cũng rõ.

Nhưng còn chưa hết.

Bỏ qua hàng loạt các mỹ từ và danh xưng người ta dành tặng cho toán học, những ví von to tát mà phần nhiều chỉ là ngụy trang cho thái độ không bất trọng thị, toán học, như cứu cánh hướng tới cái phổ quát, là một môn học rất dung dị. Bất kỳ ai cũng có thể học toán, bất kỳ ai cũng có thể làm toán; thậm chí, có thể làm toán ngay cả khi không cần biết thêm bất cứ ngoại ngữ nào. Hơn nữa, vẻ đẹp của toán học chính là vẻ đẹp của trí tưởng tượng: sự tò mò. Chính điều đó đã dẫn dắt cậu học trò phổ thông Andrew Wiles đến với ý nghĩa cuộc đời mình, cũng chính điều đó đã mở bung cánh của tương lai cho cậu học trò phổ thông xứ Đoài, và chính điều đó đã thách thức sự kiên nhẫn của bạn cho tới tận những dòng chữ cuối cùng này.

Rồi họ sẽ trở thành một Gödel, hay một NBC, hay Taniyama, hoặc là không một ai cả; không thể biết trước được. Chúng ta chỉ có thể chờ đợi, chờ đợi, và chờ đợi một cậu học trò nhỏ phát hiện bài toán cuối cùng của cuộc đời mình.

Và con người lại tiếp tục chờ đợi.